Diketahui matriks A=(8 a a 1),B=(3 0 1 2) dan C adalah matriks berukuran 2 x 2 yang mempunyai invers. Jika AC dan BC tidak memiliki invers, maka 3a^2+4b^3=⋯

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Matriks   ›  

Diketahui matriks \( A = \begin{pmatrix} 8 & a \\ a & 1 \end{pmatrix}\), \( B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ b & 1 \end{pmatrix} \), dan C adalah matriks berukuran 2x2 yang mempunyai invers. Jika AC dan BC tidak memiliki invers, maka \( 3a^2+4b^3 = \cdots \)

  1. 16
  2. 20
  3. 24
  4. 28
  5. 36

(SBMPTN 2016 MATDAS)

Pembahasan:

Matriks C memiliki invers berarti C memiliki determinan. AC tidak memiliki invers sehingga \( |AC| = 0 \). Ingat sifat determinan bahwa \( |AC| = |A||C| = 0 \). Karena C memiliki determinan berarti \( |A| = 0 \) sehingga:

\begin{aligned} |A| = 0 \Leftrightarrow 8-a^2 &= 0 \\[8pt] a^2 &= 8 \end{aligned}

Selanjutnya, karena matriks BC tidak memiliki invers berarti \( |BC| = 0 \Leftrightarrow |B||C| = 0 \) dan karena matriks C memiliki determinan berarti \( |B| = 0 \) sehingga

\begin{aligned} |B| = 0 \Leftrightarrow 1-(-b) &= 0 \\[8pt] 1 + b &= 0 \\[8pt] b &= -1 \end{aligned}

Dengan demikian,

\begin{aligned} 3a^2+4b^3 &= 3 \cdot 8 + 4(-1)^3 \\[8pt] &= 24-4 \\[8pt] &= 20 \end{aligned}

Jawaban B.